GB／T 40005-2021  精细陶瓷强度数据的韦布尔统计分析方法

1中。表格的数据可用公式（13)的解析函数近

公式（13)计算的值和表1中的对应值之间的误差小于1%，且可用于样本数N>120的情况17 附录D中的示例演示了如何使用表1和公式（13)修正韦布尔模数的有偏估计值

有色金属标准GB/T400052021

表1用极大似然法估算韦布尔模数所需的无偏参数

6.5.1置信区间定量分析总体参数点估算的不确定性。韦布尔参数的极大似然估算的置信区间范围 随看样本数量的增加而减小。构建置信区间的数值以蒙特卡罗模拟获得的百位比分布为基础，例如，韦 布尔模数的90%的置信区间是由m相对于真实总体值m比为5和95的百分比分布得到的。对于韦布 尔模数的点估算，构建90%置信区间所需的归一化数值q=（m/m)列于表2中。因此，m对应的上下 置信区间边界分别为公式（14）和公式（15）：

m uper = m /q 0.00

附录D中的例子演示了如何使用表2构造上下边界。在这里应使用韦布尔模数统计偏倚估算。 同样，这个过程不适合截尾统计。 通常使用一个如下式所示的插值函数来计算置信区间，该式也适用于样品数N>120。系数a；对 应的值见表3。公式（16)通常用于大样本，公式计算值和表2列表值的偏差小于0.5%L17)。此外，表4 为计算95%置信区间的系数。

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q(N)=1+ α 1/2 3/2 N N3 N2 N N N

q,(N)=1+ N A /N3 N? Ns N

=mln(o./o.)

特征强度的90%置信区间是由t的5和95百分比分布而得到，所以置信区间的上下限分别表示 式（18）和公式（19）：

(o)upper=(o。)exp(—t0.05 /m (o) lower =(o。) exp( to.95 /m)

特征强度的点估算的百分比分布列于表5。同样可以定义插值函数tp，如公式（20），来分析并精 算置信区间

t(N)= 62 65/2± b3 N N /N5 N

表6和表7分别列出了90%和95%置信区间分别对应的系数b： 附录D中列举了表5建立。的置信区间上限和下限。可以在这里使用韦布尔模数的极大似然估 算的无偏估计值[见公式（10)]。同样，这个过程不适合截尾统计。注意公式（17)不适于建立。置信区 间，因此，6。的置信区间不应通过公式（5）和公式（7）转换

极大似然法估算韦布尔模数的90%置信区间归

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表4用于极大似然法估算韦布尔模数的95%置信区间归一化上下限的公式（16）系

表5t函数的90%置信区间归一化上下限

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表7用于极大似然法估算韦布尔特征强度的95%置信区间归一化上下限的公式（20）

7方法B：竞争型缺陷总体的极大似然法参数估算

本标准列举了应用极天似然法估计参数。这个方法有很多优点，特别是从截尾总体中估算时。当 详品有两个或者更多个可区分的缺陷分布时，即样品包含截尾数据，需用截尾数据的处理方法。本标准 所描述的截尾数据处理方法主要用于多重并存型缺陷分布。然而，本标准参数评估方法并不是直接应 用于包含外部或复合多重缺陷分布的数据集门。 有必要对每个样品的断裂源进行断口分析，使对多重缺陷分布的截尾数据估算技术得到验证。多 重缺陷分布也可通过从单一韦布尔分布得到的数据的线性偏离进一步得到证实。 对于多重缺陷分布的数据集，即使有一个缺陷分布（经断口分析确认的)发生在少量的样品中，应报 告这种缺陷分布（和这种现象的数量），但是没必要估算韦布尔参数。因为这种韦布尔参数在宽的置信 区间内有偏差（难以量化）。然而，如果这种缺陷分布发生在样品强度分布的上下限，应在报告中做专门 记录，

.2.1外来缺陷、标距外和不确定断裂来源的失效使本标准中的截尾分析应用变得复杂。如果这些复 杂现象增多，这些样品的强度数据一般不能被忽略。应截尾标距外的断裂及外来缺陷引起的断裂，再应 用本标准中的极大似然法[3][20][21] 722在断口分析中无注确认的断烈源本标准给实验员四种选项来处理

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a） 根据已知的断口分析信息推定一种过去的缺陷分布； b） 选择强度最接近样本的缺陷分布； C 指定一种新的未明确的缺陷分布； d）从样本中删除， 7.2.3应在检测报告中说明未识别断裂源的数量及分类。附录E对每种选项进行了适当性讨论。如 果便用强度数据和由此得到的参数估计值进行部件设计，工程师应在断口分析之前和之后咨询断口分 析师。正确的选择需要良好的判断力。当部分断口分析信息可用时，强烈推荐选项a），特别是当这些 数据用于部件设计时。相反，除非有充分的理由本标准不建议选择选项d）

根据已知的断口分析信息推定一种过去的缺陷分布； b 选择强度最接近样本的缺陷分布； c） 指定一种新的未明确的缺陷分布； d)从样本中删除

尾样本两参数韦布尔分布的极大似然函数定义女

这个表达式应用于已从断口分析中确定两个或多个并存型缺陷分布的样本。为了便于讨论，不同 的缺陷分布被指定为缺陷类型A型、B型、C型等。公式（21)评估与A型缺陷分布相关的参数，r表示 具有A型缺陷样品的数量，i是在第一部分的样品编号。第二部分源自没有A型缺陷的所有其他样品 (B型缺陷，C型缺陷等）。因此第二部分记为（j=r十1)到N（样品总数）。6；和,分别对应于第i和 第j个样品的断裂强度。韦布尔模数m和特征强度。估算是由m和。的极大似然函数取对数并偏导 后为零所得的表达式求得。。是样品几何尺寸和韦布尔模数m的函数。在附录C中给出了典型形状样 品。和韦布尔尺度参数。关系的表达式。 截尾样本的似然函数取对数和微分后的公式如下5

式中： 截尾样本的失效样品数量。 公式（22)可求得m。随后根据公式（23)求得。。公式（22)无法求得m的解析解，这个公式只能 求得数值解。

在估算参数之前，应删除离群值。离群值是指严重偏离其他观察结果的值。应该理解，一个明显的 离群可能是精细陶瓷强度变化的极端表现。应保留数据点，并将其视为失效样本中的任何其他观察值。 离群值也可能是规定试验步骤下的总偏差，计算错误或记录了可疑的数值。当实验员清晰意识到是规 定试验步骤的总偏离造成的，除非能合理地改正，否则可删除离群值。

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8.2.1建议对每一个失效样品进行断口分析以表征断裂源。精细陶瓷的强度经常被离散的缺陷源限 制，这些缺陷源一般是样品内在或外在的。气孔、硬团聚、夹杂物、不规则大晶粒一般被认为是内在缺陷 源10]。外在缺陷源一般在样品表面，由接触压力、碰撞、恶劣环境导致。断口分析可用来定位、识别、分 类陶瓷测试时主导失效的断裂源。此外为了使用附录C的表达式来进行参数估算，这些断裂源应被分 为表面或体积断裂源。因此在一个样品的体积或表面区域内断裂源的分类可能存在很多种。如果没有 做断口分析，在测试报告中应明确注明。 8.2.2进行断口分析并用一个符号标记每一个数据以区分缺陷源的类型。这可能是一个词、一个缩写 字母或者每种缺陷源的代号。

8.3.1本标准的一个目标就是对强度类 步骤图示强度数据。首先对实验 得到的强度数据进行升序排列 ，如公式（24）和公式（25）

Pr (o:) = i—0.5 N P (o:)= i—0.3 N+0.4

Pr (o:) = 0.5 N 24 P(o:)= i—0.3 N + 0.4

式中： N一样品的数量； i一一按升序排列的样品编号。 注：公式（25）是一个广泛使用的近似中位秩指数统计。 计算第i个失效应力的自然对数.及1/（1一P）7自然对数的自然对数（也就是括号中值的二次对 效），其中P，与第i个失效应力相关。 .3.2按图1以1no为横坐标，ln(1nL1/（1一P,）」)为纵坐标作图。一种典型的纵坐标值假设为一6～ 十2，近似对应于失效概率从0.25%～99.9%这个范围。纵坐标应如图1所示标记为失效概率P，同样 黄坐标标记为失效强度（弯曲或拉伸等），单位为MPa或GPa。 3.3.3由韦布尔参数估算来确定连接数据点的直线。直线定义公式如公式（26）：

.......(26)

直线的斜率即韦布尔模数m的估算。同理可确定特征强度。。的估算，其对应于P，为63.2%时，或 In(ln[1/（1一P,）)])值为零时所对应的强度。 8.3.4本标准并没有提供一个确定的准则来判断单独数据点与由数据估计出的线性双参数韦布尔曲 线的相对拟合度。曲线可靠性的理论边界很复杂且在本标准范围之外。韦布尔模数和韦布尔特征强度 估算的置信边界可构建图1所示的置信区间。双参数韦布尔曲线的左部分由韦布尔特征强度的置信下 限和失效概率大于63.2%的韦布尔模数的置信上限构建。失效概率低于63.2%对应于韦布尔模数的置 信下限。双参数韦布尔曲线右部分由韦布尔特征强度的置信上限和失效概率天于63.2%的韦布尔模数 的置信下限构建。失效概率低于63.2%对应于韦布尔模数的置信上限 8.3.5对于单一缺陷分布的样品，也可采用最小二乘法估算图1直线的斜率来估算韦布尔模数，这时 样本中样品数量至少为16，如果作为材料强度性能评价或仲裁，样品数量需大于36。且对于30个以上 样品的一组数据，直线相关系数需在0.90以上。在报告中应说明用最小二乘法估算韦伯模数。

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图1强度数据的韦布尔分布示意图

试验报告应包含以下内容： a） 被测材料的种类； b） 样品特征：几何尺寸、表面状态（例如：烧结表面、机加工表面或倒角边等）； 测试步骤（最好引用一个适合的标准）； d 测试的和无效的样品数量； e） 缺陷类型； f 缺陷总体：单一、多重或并存型缺陷总体； g） 韦布尔参数（㎡，。）的极大似然估算； h 对应90%或95%置信区间的韦布尔参数置信上下限［mlower，mupper」，［（o。）lower，（o。）upper」： 1 无偏因子；韦布尔模数无偏估计值：UF，mU。 提供一个单独表格按升序列出强度值，方便其他人选择其他方法分析。此外，实验员宜有一份单独 包含样品相关尺寸和形状的轮廓图。在强度数据的韦布尔分布图中也可以标注平均强度估算值。平 强度估算值是利用算术平均方法计算的，如公式（27）：

注：平均强度的估算不适用于多重缺陷失效样本的样品

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本标准与IS020501：2019的技术性差异及其原因

公式（C.1)定义了拉伸样品参数之间的关系[16]：

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=(V) 1/(m) (60) v ............

(00) v= (V) 1/(m)v (0。)

....................

V一一样品标距段的体积，单位为立方毫米（mm"）。断裂源严格分布于这个体积内。 拉伸样品的标距段定义为样品截面积最小的部分。如果能够按照公式（7)计算合适的体积积分，实 验员也可把样品过渡区和加持区考虑在内。详细的步骤见C.3。对于断裂源严格分布于样品标距段表 面的拉伸样品，公式（C.2）定义了拉伸样品参数之间的关系：

一标距段的表面积，单位为平方毫米（mm"）

(G0) v= (A) /(m)A (6)

.....................2

弯曲试验样品的几何形状见图C.1[15]，其关系式要复杂很多[8][181[19]。对于断裂源严格分布于弯曲 样品外跨距内的体积：

[(E)(m)>+1 (0) v= (0。) v ..(C.3) 2 [(m)v+1]

(oo) v=(a。) v (C.3) 2 [(m) v +1] 式中： V是由下式定义的标距段体积，（b和d是图C.1定义的尺寸）： V=bdL。 (C.4) 样品宽度，单位为毫米（mm）； d 一样品宽度，单位为毫米（mm）； L一内跨距长度，单位为毫米（mm）； L。一外跨距长度，单位为毫米（mm）。 对于断裂源严格分布于弯曲样品外跨距内的表面：

G)A=(C。)A(L / (m)+1 [(m)+1 .....( C.5 ) m

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典型弯曲试验样品示意

除了拉伸和弯曲样品，也可用公式（3)和公式（5)导出任意样品的韦布尔特征强度和韦布尔材料尺 变参数之间的关系。将公式（3）中的α（外加单向拉伸应力）替代为mx（任意样品的最大拉伸应 ）则

按照公式（5）积分后

k一一样品几何形状和应力梯度的尺度常数。 一般来说，k是韦布尔模数估计值m的函数，通常小于等于1。乘积kV通常被称为有效体积，标记 为VE。有效体积可以解释为一个等效的单轴拉伸样品的尺寸，该样品具有与试验样品或构件相同的失 数风险。顾名思义，该乘积表示材料受到均匀单轴拉伸应力下的体积9。公式（C.6)和公式（C.7)相等 后可得公式（C.8）：

[00) v= (kV) 1/(m) (00)

任意试样，实验员可根据公式（7)确定积分的有效体积kV，并用式（C.8)得到韦布尔材料尺度 估计值。一个类似的过程可以 分析断裂源位于样品表面

D.1单一缺陷总体示例

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附录D （资料性附录 示 例

第一个例子用表D.1的HIP（热等静压）碳化硅四点弯曲强度数据。公式（10)的解需要一个送 代的数值格式，对于这个数据集获得一个有偏参数估计m三6.48。随后按照公式（11）得到。。= 556MPa。这个韦布尔参数值是假设无截尾数据的单一模式失效样品（即r=N）。图D.1所示为每一 个失效数据和估算参数的曲线。下一步，假设断裂源是表面分布，然后在公式（C.5）中代人样品的几何 尺寸（例如，L。=40mm，L；=20mm，d=3.5mm，b=4.5mm）的m，。的估值，可得（。）A=360MPa (m)0.309。(o。）A的单位是应力·（面积）1/㎡；因此，（2/6.48)=0.309。或者，源是体积分布，公式（C.3)的 解可得(。）v=37.0MPa·（m)0.463。注意(。）v的单位是应力·（体积）1/㎡；因此，（3/6.48）=0.463。

0.1例1热等静压碳化硅的单模型断裂强度数据

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图D.1例1的断裂强度分析数据

D.2多重缺陷总体示例

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第二个例子考虑样品有多重缺陷分布（见表D.2），每个试验样品都进行断口分析。失效源被确定 为表面或体积断裂源，用公式（12)和公式（13)估算参数。对于体积断裂源，r=13，计算结果（m）v= 6.79和（o。）v=876MPa。对于表面断裂源，r=66，计算结果（m）A=21.0和（o。）A=693MPa。对于 大多数情况图D.2中的点落在代表复合的失效概率的实线曲线的附近汀。

式中： (P.)由下式计算得到

(P.)由下式计算得到

P）由下式计算得到：

(P:) =1exp (g)

公式（D.1)估算的曲线渐进靠近公式（D.2)和公式（D.3)估算得到的相交直线。代入估算的韦布尔 参数（从分析体积断裂源获得）和样品几何尺寸（例如，L。二40mm，L二20mm，d二3.5mm，b= .5mm）到公式（C.3)可得（o。）v=65.6MPa·（m）0.442。代人估算的韦布尔参数（从分析面积断裂源 获得）到公式（C.5）可得（o。）A=446MPa·（m）0.95

表D.2例2双模型断裂强度和断裂源分类

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应该注意的是，在这个例子中，断口分析表明，所有的体积失效是由单一分布的体积缺陷引发的，而 所有表面失效都是由单一分布的表面缺陷引发的。通常，断口分析会指示更复杂的情况，比如在单一表 面缺陷分布外存在两种独立的体缺陷分布（如异物夹杂和大孔洞）。对这类样品的分析与上面讨论的分 析非常相似，只是公式（12)和公式（13)会被用到三次而不是两次，图形上会有三条直线

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D.4无偏估计值的计算

施工安全资料图D.2例2的断裂强度分析数据

作为一个例子，计算韦布尔模数的无偏估计值，韦布尔模数和韦布尔特征强度的边界，用D.1所示 单一失效模型样本。样本包含80个试验样品，韦布尔模数的无偏估值是m=6.48。从表1可得（见 6.4.2)对应这个样品尺寸的无偏参数是UF=0.984。因此韦布尔模数的无偏估计值是： mu=mXUF=6.48×0.984=6.38 ·（D.4） 用插值公式（13)获得无偏参数UF=0.983，计算得到无偏韦布尔模数6.37（表中值和函数值的计算 偏差在给定精度范围内）。 这金送日的累信上阳头

mlower=m/qo.95=6.48/1.173=5.52

式中： 90.95同样从表2得到。或者用插值公式（16)和表3中的系数，得到的m上下边界分别是7.37和 5.51 同样，6。的置信上限是： (o.)upper=(o。)exp(—to.05/m)=(556)exp(0.197/6.48)=573MPa........(D.7) 式中： 10.05从表5的80个失效样品的样本得到。 。置信下限为： (o。)lower=(o。)exp(—to.95/m)=(556) exp(—0.197/6.48)=539 MPa ..·(D.8) 式中： t.9s同样从表5得到。或用数值近似方法从公式(18)和表6得到。

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附录E （资料性附录） 具有不确定断裂源的样品分析

7.2.2叙还 d)4种选项。E.1.2～E.1.5进 了这四种选项，列举