按测量结果获得的方法，或测量条件及测量结果的不同，测重方法可分为：直接测重 接测量：直接比较测量与微差比较测量；等精度测量与非等精度测量；接触测量与非接触

主动测量与被动测量；静态测量与动态测量等。而按实验数据的处理方式，测量方法主要是分 为直接测量、间接测量与组合测量三类，现分述如下。 1.直接测量 无需对待测的量与其它实测的量进行某种函数关系的计算，而直接得到被测量值的测量， 称为直接测量。如用游标卡尺测量轴径；用立式光学计测量圆柱塞规直径对于作为标准尺寸 的量块中心长度的偏差值，都属直接测量。 ， 2，间接测量 ！ 与直接测量不同，待测量少需先通过测量与其有某种函数关系的其他测基值（或个测

与直接测量不同，待测量需先通过测量与其有某种函数关系的其他测基值（或个

计算得出待测量少，这种测量称为间接测量。 如用弦长号高法测量圆甄或轴的直径D（图1一1）瓦楞纸箱标准，先测 量一定的弦长s和相应的弓高h,再按下式计算出直径D：

y=f(r) y = f(a1,32,",En)

如有若干个待求量y132，，3t，把这些待求量用不同方 式组合起来进行测量,并把测得值12，，与待求量之 间的函数关系列成方程组，即

方程式的数量n要大于待求量的个数t，然后用最小二乘法求出各待求墅的数值，即为组 合测量（详见第八章）。

S1—3单位制与基准(标准)

一般由一个数乘以测量单位所表示的特定量的大小，称为量值（如5m，12kg，20等)。 在科学的所有领域或某一领域中，一组彼此间存在确定关系的基本量和相应导出的组合，称 为量制。如计量测试中的儿何量、力学量、电学量、等等，都有自己的量制。 为给定量制按给定规则确定的一组基本单位和导出单位，称为单位制。我国采用的国际 单位制（SI)是由国际计量大会采用和推荐的在全世界广泛应用的单位制。国际单位制单位由 米（长度）、千克（质量)、秒时间)、安【培)（电流）、开【尔文】（热力学温度）、摩【尔]（物质的量）、 坎[德拉】（发光强度)等7个基本单位和弧度(平面角）、球面度（立体角)两个辅助单位歇及它 们的导出单位组成。

零件的加工和测量，以及所用的加工机床、测量仪器本身，都不可避免地存在误差，没有误 差的加工和测量是不存在的。有些参数的计算及测量数据的处理，同样含有误差。误差和计 量测试有密切关系，任何计量测试都有误差存在，而各种量值的大小，又都要通过计量测试才 能给出。因此，下面着重讨论测量误差。

误差是评定精度的尺度，误差愈小表示精度愈高。在测量中，由误差表示测得值与真值之 差。 若令测量误差为.测量值为，真值为0,则有

真值。是客观存在的，但在实际应用时，一般是不知道和无法确定的。在统计学上，当测量 的次数n非常大时（趋于无穷大），测得值的算术平均值（数学期望)才接近于真值。故常以测 量次数足够大时的测得值的算术平均值，近似代替真值（详见第二章）；实用中还常用量值精度 总终高的实物近似代替享值，这些都称之为约定真值。

按误差的性质和特点，误差可分为随机误差、系统误差和粗大误差三类。 ： 1.随机误差 、在同一测量条件下，多次重复测量同一量值时，测量误差的绝对值和正负符号以不可 的方式变化，这种误差叫做随机误差。例如千分表测杆与套管导轨在测量时因有间隙和摩

由于重复测量实际上只能进行有限次，所以实用中的随机误差只是一近似的估计值。 当测量次数足够多时，就整体而言，随机误差服从一定的统计分布规律（详见第二章）。 2.系统误差 在同一测量条件下，多次重复测量同一量值时，测量误差的绝对值和正负符号都保持不 变，或在测量条件改变时按一定规律变化的误差，叫做系统误差。前者为定值系统误差，后者 为变值系统误差。 如用零位没有对准的游标卡尺或千分尺测量尺寸，将有零位系统误差。 在我国新制订的国家计量技术规范（JJF10011998（通用计量术语及定义》中，系统误差 系统的定量定义是：在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果1，2，，# （n一80）的平均值至与被测量的真值o之差。即

式中元按式6计。 由于定义中的测量是在重复性条件下进行的，测量条件不改变，故系是定值系统误差。 由于重复测量实际上只能进行有限次，另外，测量的真值也只能用约定真值代替，所以实 际中的系统误差也只是一近似的估计值。 3.粗大误差 这类误差的发生，是由于测量者的疏忽大意，或因环境条件的突然变化而引起的，误差值 一般比较显著。对确认含有粗大误差的测量数据，应予以剔除（详见第四章）。

误差可用绝对误差和相对误差两种基本方式来表示。 1.绝对误善 绝对误差就是前面讲的某量值的测得值与真值（或约定真值）之差，一一般所说的误差，就是 绝对误差。 由于实际测得值可能大于或小于被测量值的真值，故绝对误差可以为正值或负值。它与 误差的绝对值不同，后者是不考虑正负号的绝对值。 2.相对误差 相对误差ε是绝对误差与被测量的真值的比值，一般用百分比（%）表示。由于测得 值与直值很接近，故也可近似地用绝对误差与测得值之比作为相对误差。即

范围的仪表的测量精度，还可用来比较不同量值的测量精度。 实际测量中有这样一种规律，即被测量值越大（特小的难于测量的量值除外），其测量误差也 越大（对用同一计量器具和相同的测量方法及条件而言）。所以用绝对误差来比较两个相差较大 的和（或）用不同测量方法测得的量值的测量精度，就显得不合理，这时宜用相对误差来比较。 如用某种方法测得一尺寸的结果L1=100mm，误差1为土0.01mm，而用另一种方法测 得另一尺寸L2=20mm，误差2为士0.005mm（这里误差值的正负号表示误差的范围，详见 第二章）。 用相对误差来比较两者的测量精度：

±0.01 = ± 0.01 % 100 ± 0.005 =±0.025% E2 20

e1<ε2，故知测量尺寸L，的精度比L2高。如用绝对误差来比较，就会得出相反的 确结论。 讯烤效席正确度精确度（准确度）

测量误差的来源是多方面的，主要可归纳为： 1.标准器具的误差 作为在测量中提供标准量的标准器具，如光波波长、标准线纹尺、量块、码、标准电阻等， 它们本身所体现的量值，不可避免地含有一定的误差（一般误差值相对较小）。 2，测量装置的误差 测量装置误差包括计量器具的原理误差、制造装调误差；被测件在测量仪器上安置时的定 位误差；附件误差；以及接触测量中测量力与测量力变化引起的误差等。 3.方法误差 由于量方法的不完善所引起的误差。如采用近似的计算方法，用钢卷尺测出大尺寸轴 的圆周长s，然后由公式d=s/元计算出轴的直径d所引起的误差；又如采用触针法测量工件 的表面粗糙度时，由于触头的圆角半径引起的误差等。 4.测量者的误差 由于测量者的固有习惯、分辨能力的限制、工作疲劳引起的视觉器官生理变化、精神因紊 引起的一时疏忽等原因所引起的误差。如瞄准误差与读数误差。 5.客观环境引起的误差 由于各种环境因素与规定的标准状态不一致而引起标准器、测量装登和被测件本身的变 化所造成的误差。这些环境因索有：温度、湿度、气压、振动、照明、电磁场等，其中以温度尤为 重要。

在计量测试领域，研究误差有者极为重要的意义，其目的在于： （1）分析误差的性质和产生的原因，并采取相应的措施，以便从根源上消除误差，或将误 差减小到最低限度。 (2）正确计算和处理各种测量数据，尽可能提高测量结果的精确度。正确表达测量结果， 以适应各方面的需求和交流。 （3）合理地安排测量过程，正确地设计或选用计量器具和测量方法，以求在满足测量精度 要求的前提下，提高测量效率，降低测量成本。

S1一5 有效数字与数值运算

物理量大多是由观测所确定，因而不可避免会含有误差。即测得值是一代表其值的近似 值。误差值同样也是近似的。测量某被测量所得到的近似值往往是设计工作的根据，是实际 正程工作的基础。 在运用近似计算法进行计算时，所得结果亦为近似值，通常在保证能达到所要求的近似程

度的前提下，应使计算工作合理简化，即一方面应避免盲目追求不切实际、没有必要的精确计 算，致使计算工作繁复，既浪费人力又耗费时间；另一方面又要保证达到要求的精确程度，不能 图省事，以致造成错误。 在计算机应用日益普遍的情况下，近似值及运算数字的选取应多加注意，周密分析，以使 计算程序简化，计算效率提高，近似程度合理、可靠。

二、有效数字和有效位数

数据的运算误差有天有小，符号有正有负，因而在运算过程中，就必然要相互抵消一部分。 在实际运算中，为了保证最后结果有尽可能高的精度，应遵循下述规则： （1）多个近似数（不超过10个)作加、减运算时，小数位数较多的近似数，只需比小数位数 最少的近似数多保留一位。而计算结果的小数位数，应与小数位数最少的那个近似数相同 倒如：

1 425.4 + 343.1+ 11.243+9.7427 1425.4+343.1+11.24+9.74 =1 789.48 ~ 1 789.5

（2）若参加运算的客数属同一数基级，且第一位数的大小相差较大时，为避免第+一位数小 的那个数的相对误差过大，可将其有效位数多保留一位。 （3）两个近似数作乘、除运算时，有效位数较多的近似数，比有效位数少的多保留一位，计 算结果应保留与有效位数少的那个数相同的有效位数。例如： 3.142×2.4~3.14×2.4=7.536~7.5 （4）在近似数作乘方或开方运算时，计算结果的有效位数与原来近似数（被乘方或开方 数)的有效位数相同。乘方与开方实质上是乘、除运算，故这实际上是采用乘、除运算规。 （5）在三角函数的运算中，函数值的位数应随角度误差的减小而增多，当角度误差为10， 1,0.1及0.01"时，对应的函数值位数应为5，6.7及8位。 (6）作对数运算时，n位有效数字的数据应该用n位或（n+1)位对数表。 （7）如运算所得的数据还要进行再运算，则该数据的有效位数可比应截取的位数暂时多 保留一位数学。 （8）表示误差范围的参数，如测量不确定度、标准差等（均见后述），其有效位数一般为 一 位，最多为两位。

（2）若参加运算的客数属同一数基级，且第一位数的大小相差较大时，为避免第+一位数小 的那个数的相对误差过大，可将其有效位数多保留一位。 （3）两个近似数作乘、除运算时，有效位数较多的近似数，比有效位数少的多保留一位，计 算结果应保留与有效位数少的那个数相同的有效位数。例如： 3.142×2.4~3.14×2.4=7.536~7.5 （4）在近似数作乘方或开方运算时，计算结果的有效位数与原来近似数（被乘方或开方 数)的有效位数相同。乘方与开方实质上是乘、除运算，故这实际上是采用乘、除运算规。 （5）在三角函数的运算中，函数值的位数应随角度误差的减小而增多，当角度误差为10， 1,0.1及0.01"时，对应的函数值位数应为5，6.7及8位。 (6）作对数运算时，n位有效数字的数据应该用n位或（n+1)位对数表。 （7）如运算所得的数据还要进行再运算，则该数据的有效位数可比应截取的位数暂时多 保留一位数学。 （8）表示误差范围的参数，如测量不确定度、标准差等（均见后述），其有效位数一般为 一 位，最多为两位。

第二章等精度测量的随机误差

测得值就具有相同的精度，可用同一标准差来表征，或者说其有相同的可信赖程度。这样的测 量，就叫做等精度洲量。 从测量实践可知，在排除了系统误差和粗大误差的情况下，对某一物理量进行等精度的多 次测量时，其测得值中还会含有随机误差。对于测量列中的某一个测得值而言，这类误差的出 现具有随机性，即误差的大小和符号是不能预先知道的；当测量次数增大，这类误差却又具有 统计的规律性，测量次数愈多，这种规律性就表现得愈明显。随机误差的这种统计规律常称为 误差分布律。在测量误差理论中，最重要的一种分布律是正态分布律，因为通常的测量误差是 服从正态分布的。当然，在有些情况下，随机误差还有其他形式的分布律，如均勾分布、三角影 分布、偏心分布和反正弦分布等。根据误差的分布律，就可对测量数据进行适当的处理。 随机误差的产生有其主观和客观的原因，这些原因一般是由许多难以控制的和经常变化 的微小因素所造成。一般地说，凡能产生测量误差的诸因素都有可能会引起随机误差，当然应 将影功其系统误差的因素除外

通过大量的对测量数据的观察，人们总结出了大多数的随机误差具有以下3个特征，它 被称做随机误差公理（15]。： （1）在一定的测量条件下（指一定的计量器具、环境、被测对象和人员等），随机误差的绝 对值不会超过一定的界限； （2）小误差出现的机会比大误差出现的机会要多； （3）测量次数n很大时，绝对值相等、符号相反的随机误差出现的机会相等。 由特征（3)不难推理，对同一量进行等精度测量，随着测量次数n趋于无穷大，随机误差 的算术平均值将趋于零。 多数随机误差的上述特征，说明其分布实际上是有界限的和单一的峰值，且当测量次数无 穷地增加时，这类误差还具有对称性（即相消性）。这种误差的分布规律，人们称之为正态分布 律。

2—2随机误差的数字特征

用于描述随机误差分布特征的数值叫做随机误差的数字特征。 对于离散型或连续型的随机误差，它在数轴上的分布规律，虽可采取分布函数或分布密度 函数及其相应的分布曲线图形来表示，但在实际测量数据处理中，要确定误差的分布函数或分 布密度函数，是很困难的，一般也是不必要的，若知道了随机误差的数字特征，就能明确地说明

随机误差分布的特征。 随机误差的数字特征主要有两个：①算术平均值；②标准差。前者通常是随机误差的分布 中心，后者则是分散性指标。例如，当随机误差服从正态分布时，在算术平均值处随机误差的 概率密度最大，由多次测量所得的测得值是以算术平均值为中心而集中分布的；而标准兼则可 描述随机误差的散布范围，标准差愈大，测量数据的分散范围也愈大。显然，算术平均值可以 作为等精度多次测量的结果，而标准差可以描述测量数据和测量结果的精度。

对一个真值为3o的物理量进行等精度的n次测量，得n个测得值c132，*，工n，它们都 含有误差.2,,,统称真差。通常，我们是以算术平均值元作为n次测量的结果，即

代人式（2一1），得：

上式中的真差：即为随机误差，当测量次数n→00时，根据随机误差公理（3)，2:→ 则得

这个结果说明，当测量次数n无限增大时，测得值的算术平均值范就等于真值xod但在 实际上，进行无穷多次的测量是不可能的，因此真值工o实际上也不可能得到，然而可以认为， 当测量次数n适当大时，算术平均值至是最接近于真值o的（证明见后）。 通常在有限次测量时，不可能等于真值30，所以无也是随机变动的，设想进行组的 “多次测量”，各组所得的算术平均值为至1，32，，正m，这些算术平均值；本身并不含系统误 差，它们是围绕真值o而随机变动，故元：是无偏估计量。 在计量测试中，都以至作为多次测量的结果，它是诸测得值中最可信赖的，常称最或然 值。 为了计算方便，算术平均值也可按下式计算：

m1m2，",m是测量值1,2,",重复出现的个数,总测量次数n=≥m;C为 数。 2一1 求20.0005，19.999620.000319.999420.0002五个测得值的算术平均值 手：

n 简化算法： 5 二、标准差(或标准偏差)

上述的算术平均值至虽能表示一组测得值的结果，但它不能表示这一组测得值的精度。 例如，有下列两组测得值，即 第I组:20.0005,19.9996,20.0003,19.9994,20.0002 第I组：19.9990,20.0006,19.9995,20.0015,19.9994 这两组测得值的算术平均值都为20.0000，但它们的测量精度明显地不同。容易看出，第 Ⅱ组数据的分散要比第I组为大，即第I组测得值的测量精度要高于第Ⅱ组。 为评定一组测得值的精度，数学上常采用二次矩来描述，因为二次矩可避免正、负随机误 差的相消。在计量学中,参照这种方法，用标准差来评定测得值的精度，即

式中：;真差(随机误差);

+++ (n→0） r

三、用残差计算标准差的估计值

标准差的定义式（25)是在假定真值℃0为已知的情况下，根据真差；来计算的；但实际 上真值o是不知的，因而真差也无法获知，故该定义式只有理论的意义，而无法实际应用。 由于在有限次测量时得到的是有限个测得值1，2，"，3n，并可从该组测得值计算出最 接近于真值。的算术平均值元，所以就用无代替o来计算标准差。的估计值，亦即。用 各测得值；对其算术平均值的误差量来计算，该误差量叫做残余误差，简称残差，因此各测 值的残差：可用下式表示：

残差有两个重要的特性： 1）一组测得值残差之和等于寒，即

将式（2一1）代人上式，即得：

（2一组翘得值残差的平方和为最小，即

因为,将式(2一6)平方

如果>为最小，则必须

d() = ~2Zx + 2n = 0 d Zai E

此结果表明，如果不取无，而取其他值代誉真值30，则相应偏差的平方和一定要比我差的 平方和为大，这也同时说明了元比其他值更可信赖。 下面来讨论真差与残差之闻的关系。

式中，为算术平均值的真差。 相加，有

Z8: = Z(: + ) = + no

Zu = 0 =128:

由随机误差的特征知,当 n0时，;→0,则 =0,即,或 ;= U这 13

明：在衡量次数n足够多的条件下，一切有关真差的理论均适用于残差。 因为

百n足够大时，上式中2接近于0，又因 >

当n足够大时，上式中2接近于0，又因

Zw = 0 Zo? a 故 =

2a? 上式中， 即为α2。 n 故

o,=+0 =+20+2

Z8 = 2?+282: + 2 =12o: =(8+2Z8)(i<

w= 0 & 2 Zα= Z+n u?+

般测量次数n较少时，上式的。2常写作或。这个公式的意义在于真差是不知 由式(27)就可根据有限个测量值的残差来求取随机测量误差方差的估计值。。将 7开方，得：

g。称为实验标准差，它是标准差α的估计值。式(2一8）称为贝塞尔（Bessel)公式。类似 于式(2一4),式(2一8)也可作如下简化计算：

式中，C是为简化计算而任选的常数。 ：如果各测得值不只出现一次，而是m：次，总次数n=》m；，则上式可写成

标准差。以及下面将要讲到的平均误差、几率误差β和极限误差m等都是表示随机误 差很重要的特征量，都可用于描述测量列中各个测得值的误差。因。甚为重要，故必须进 步说明它的含义和对测量的作用。例如，对某一量测量50次电镀标准，得测得值1，2，，50，根据

此50个数据计算出标准差的估计值s，则可作为表征测量列中每一个测得值31或2 或工50的误差的参数。由于统计的数据量已经相当大（50个），我们于是可以断定，若再多测几 个；，也不会明显地改变。的数值。因此，由大量统计得出的，便可表征在相同条件下测 出的另一测量列中测得值的误差。所以，若再测一次得测得值51，我们仍可用。来表征其误 差。又如某量仪厂，从一批产品中抽出同类产品100台，用此100台仪器测量同一量（例如， 在同一条件下測同一塞规直径),得测得值α12，，100，按此数据计算（统计)出αs，则α 就可表征此100台中任一台仪器的误差（精度）。由于统计的数目较大，故。也可表征此100 台以外的同类产品的误差或精度。关于标推差等特征量的确切含义（用概率解释）将在本章第 3、4两节中进一步说明。

四、算术平均值的标准差及其估计值

对于测量误差服从正态分布的测得值，可用其标准差。来评定测量的精度。在多次测量 中，由于其算术平均值元是最接近于被测量的真值工0，所以需要进一步分析的精度。在有 限次測量的条件下，元不等于真值。由m组不同的"多次测量”所得的算术平均值元1，2， ，无，是围绕真值o而随机变动的，，也有其确定的分布，故算术平均值的精度也可由 其标准差来评定，它与的关系可推导如下。 设想进行m组的“n次重复测量”，各组的测量次数n仅为有限次，即各组测得值的算术 平均值，不等于真值o，；尚具有真差，（i=1～m），我们列出

1二 7 12 = 32 #2+.+2. Cm

态分布的随机变量，且其分布的理论均值为；及方差为。2,故随机变量元，（i=1m）的分布 就是n个正态分布的合成。由概率论原理可知，正态分布和的分布仍为正态分布，且其方差 为各合成正态分布的方差和，将上式写成一般形式：

;=一 (zj, + rj, +.*+ aj.) (j = 1 ~ m) D() = [D(α1) + D(r2) + * + D(n)] D(r1) = D(2) = "* = D(xn) = g2 n 0元= 元

由上式可见，在测量条件一定，即，一定的情况下，算术 平均值的标准差随着测量次数n的增加而减小。如测量次数 m=4，厕a减小1倍；当n=9时，就减小3倍，即其随机误 差得到有效的控制，提高了测量的精度。不过，当t增加到一 定次数（例如10次）以后，的减小就变得级慢，即精度提高得 很慢，图21所示为/g，比值与测量次数n的关系曲线。 所以在一般精密测量中，等精度重复测量的次数n多小于10 次，超过?15一20次的情况比较少见，此时若要进步提高测量 精度，则需采取其他措施来解决（如提高仪器精度，改进测量方 法，改善环境条件等）。

比较一下两组测得值的计算结果，它们的算术平均值虽是相等的，但第Ⅱ组的标准差比第 I组约大了1倍，说明第Ⅱ组测得值的随机误差大，测量精度比第I组要低。 例2一3用机械测微仪测量某零件直径共51次涂料标准规范范本，测得的数据如表2一2所列，试求测得值 的各特征量元，s，0 解：为了简洁清楚，采用列表计算的方法，表中；为测得值，m，为3；出现的频数，而n二 m: = 51 为总测量次数。