EWMA值可被视作所有以往观测和当前观测的加权平均值，对正态假设并不敏感。因此，它是 交理想的适用于单个观测数据的控制图

4.3EWMA控制图的控制限

若观测值，彼此独立，方差为。”，则之的方差见公

EWMA控制图以序号i（或时间)为横轴，2；为纵轴，其控制限的计算见公式（6)和公式（7)：

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cL=μ十L LcuoL

系数L用来确定控制限的宽度，它的值取决于置信水平。。 3o），因而设定了3控制限。与之类似，EWMA控制图的置信水平可根据需要进行调整（例如：L，=2.7 对应的置信水平为99.307%）。 只要，落在控制限内时，就不需要进行调整。一旦，落在控制限外，则认为过程处于失控状态。此 时，需要对过程进行调整，调整后重新绘制EWMA控制图。EWMA控制图初始化时，不考虑调整前的 观测数据。取之。为初始值。 随着i增加，[1一（1一入）"］趋近于1。也就是说，EWMA控制图使用一段时间后，控制限将趋近 于稳定值，如公式（8）和公式（9）所示： 中心线三业

尽管如此，强烈推荐使用准确的控制限 便监测过程异常 寸性显著提升， 注：在实际工作中，使用样本数据的标准差s作为。的估计

4.4EWMA控制图的构建

为了展示EWMA控制图的建立过程，先利用历史数据计算下列参数： u。=50 =2.0539 设定入=0.3.同公或（10）可得

设定入=0.3，同公或（10）可得

表1EWMA值的计算

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表1EWMA值的计算（续）

标引序号说明： 1——Uc.=52.5885; 2——CL=50; 3——Lc.=47.4115。

在图2所示的EWMA控制图中，所有的EWMA数值对应的点子均落在控制限内，表明该过程 受控状态

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本示例使用表2给出的观测数据（3；）。前20个观测值由均值10、标准差c三1的正态分布随 机生成，后10个观测值由均值=11、标准差。=1的正态分布随机生成，换言之，过程均值出现了一个 标准差的偏移。 设定入=0.10,L，=2.7对表2中的数据建立EWMA控制图， 过程均值的目标值u=10，标准差。=1。 下面以第一个观测值1=9.45为例，来说明计算过程。 对应的EWMA统计量的第一个值可由公式（13）得出

( 9.945 00

如图3所示，21=9.94500为EWMA控制图中第一个点。 EWMA的第二个值由公式（14)得出：

2=2+( = 9.749 50

以此类推，可计算出EWMA统计量的其他值。 控制限由公式（15)和公式（16)得出： 对1.

对i=2，控制限由公式（17)和公式（18)得出：

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控制图控制限的相关计算结果.EWMA控制图如

表2EWMA控制图的相关计算结果

从图3中可以看出，上下控制限之间的宽度随着讠的增加而增宽，最终逐渐接近稳定值而趋于

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定。稳定值可由公式（19）和公式（20）得出

EWMA控制图的第29点和第30点 而发出警报，说明过程已失控。

5.1常规控制图与EWMA控制图

与常规控制图不同，EWMA控制图无法基于手样本给出检测过程偏移的概率。因为这一概率值 常数，它受先前样本的影响。针对每个样本都能计算出该概率值，但概率值的变化次数过多，没有 价值。

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因此，用ARL（检测出偏移所需的平均连续样本数)来衡量EWMA控制图的有效性。 如果过程处于受控状态，那么，期望虚发警报的概率很低，即虚发警报前的平均样本数应较天（通常 ARL在100到1000之间取值）。 另一方面，如果过程出现了偏移，期望能尽快发现该偏移，即从偏移发生到出现第一个超出控制限 的点之间的样本数应尽可能小（ARL较小）。 与常规控制图相比，EWMA控制图对小幅和中等幅度的偏移更为有效：入值越小，有效性越高。而 常规控制图对于监测突然、大幅的偏移更有效。 EWMA控制图的有效性与子组大小有关，n越大，有效性越高（见附录D)

表3以/n作为偏移程度，给出了控制图的ARL和MAXRL。因此，该表提供了对应于各个偏移 程度的常规控制图和EWMA控制图的有效性。 例如，入=0.5，L，=2.979，n=1的EWMA控制图，监测到一个标准差的偏移平均需要14.9个样本 （8/n=1）。若其他参数不变而n=4，则平均需要3.2个样本（8/n=2）。 当偏移=0（此时过程处于受控状态）、ARL设定为370（与常规控制图保持一致)时，EWMA控制 图采用土3c//n控制限，针对不同的入值计算得到L值，如表3的表头所示。由于表中所有控制程序的 虚发警报前的平均样本数相同，故而能通过直接比较对应六列中的数据，来对比不同控制程序的有效 性。如表3所示，较小的入值对监测小幅偏移更有效（例如，当/n=1，ARL从14.9降至7.6）；而监测 大幅偏移时入值的影响不显著（例如，当/n=3，ARL仅从1.6降至1.5）。 根据行业的实际需要，事先设定ARL作为质量控制的目标。选取入和L，以满足该设定的ARL，构 建控制图

表3EWMA与常规控制图的对比

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表3EWMA与常规控制图的对比（续）

5.3EWMA控制图参数的选取

入值越小，赋予过去数据的权重则越大，监测小幅偏移的有效性越好；而监测大幅、突发的偏移的有 效性则不佳。 入值越大，赋予过去数据的权重则越小，EWMA控制图就能够更及时地监测大幅、突发的偏移；而 监测小幅偏移的有效性则不佳。 入的选取应基于对过程积累的过往经验。实际应用中，0.05<入≤0.50： 当预估会发生缓慢偏移时，入宜在0.05～0.25之间取值； 当预估会发生突发的、中等幅度的偏移时，宜选取接近0.5的入值。 最常用的入值为0.25≤入≤0.50。若选取入=1，得到的即是常规控制图

表4给出了特定有效性对应的EWMA控制图参数。换言之，给定过程处于受控状态的ARL.禾 福度为，的偏移时的ARLI，表4给出了对应的L，和入值。 可接受的最大偏移幅度，的计算如公式（21）所示：

,=min ao Qo

步骤1：选定两次虚发警报之间的平均样本数（即ARL），通常为100～1000，从而选择表4中 的某一列； 步骤2：选定监测到可接受最大偏移幅度为，所需的平均样本数（即ARL），然后在步骤1中 所选定的某列中找到最接近这一ARL的值，得出对应的L，和入值，同时对应行得到1/n，进 而计算出n； 步骤3：若由于实际操作限制（成本、可行性等），得出的n值过大而无法满足，应重新回到步 骤1并适当降低要求，调整选定的参数值（ARL。，ARL，，）。

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表4给定ARL和ARL及偏移.所对应的L.和入值

注：若选取的ARL,低于1.40，使用常规控制图

以如下的过程为例：均值的目标值。100，标准差c。三0.8，选定ARL=500。监测到幅度为土1 个单位的偏移（即可拒绝的均值上限U，=101、下限L，=99)的ARL为3或4。 一从表4中找到ARLo=500所对应的列。 在该列中找到最接近3的ARL值。可找到3.5，对应的L，=3.05、入=0.37，相应的1Vn=2。 计算，=min(1/0.8；1/0.8）=1.25。由Vn=2可推出n=（2/1.25）=2.56兰n=3，向上取 整，以提高监测的有效性

6实施EWMA控制图的程序

EWMA控制图的实施与其他控制程序相同。EWMA控制图的程序是基于如下假定：“好的”历史 据已表明过程受控。EWMA控制图用来检验来自相同生产过程的后续数据是否与历史数据的分布 一致。使用EWMA控制图之前，需用历史数据估计过程均值的目标值和过程标准差。之后进人控制 阶段，计算EWMA统计量并检测其是否超出控制限。 计量数据EWMA控制图的应用示例见附录A，用于监控不合格品率和不合格数的EWMA控制图

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按照附录B和附录C进行构造。

EWMA控制图对非正态数据的敏感性

单值控制图和EWMA控制图均可用于子组天小为1的情形。但是单值控制图对非正态数据较为 敏感，而设计合理的EWMA控制图对正态假设并不敏感

EWMA控制图的优点如下： 常规控制图仅使用当前的观测值或样本来监控过程。EWMA控制图则使用之前所有的观测 数据，赋予数据的权重随着与当前数据的久远程度增加而指数递减。根据所选的入值 EWMA控制图赋予最近的数据更大的权重。通过调整参数，能影响EWMA控制图的“记忆 功能”。 b）对于非正态分布的质量特性，EWMA控制图的表现更为稳健。

EWMA控制图对过程的小幅偏移较敏感，但用于监测大幅偏移的失控情况时，不如常规控制 图反应及时。故而，宜将控制限较宽的常规控制图与EWMA控制图联合使用，从而同时监测 过程均值的小幅和大幅偏移。 D 若所选的EWMA控制图的入值较小，在生产的早期，EWMA控制图去检测偏移更为有效。 随着生产的延续，若出现了一个趋势，跟其他控制图一样，则该趋势不会使EWMA控制图马 上超出控制限，错误地显示过程处于受控状态

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正顾客购买的产品剂量低于下限TL三99.5mL的概率不超过0.135%。同时考虑到经济原因，避免装 药过多，每瓶药的剂量上限Tu设定为100.6mL。 当过程处于统计控制状态时，每瓶药品剂量测量值的标准差s。=0.1mL（由150个测量值计算得 出），且药品剂量认为服从正态分布。为确保药品剂量超出公差限的概率小于0.135%，剂量的均值允许 在公差限向内3倍标准差的范围内波动。计算公式（A.1)和公式（A.2)如下

当过程分布中心与公差中心一致，ARL为500。当过程发生幅度超过3，三2的偏移时，要求能够在 监测2个～3个连续样本后发现偏移。表4给出ARL。=500且ARL在2～3之间的对应参数值： ARL,=2.50;0/n=2.5;L=3.07;入=0.52。 可推出，= Z. =1.5625，取n=2（向上取整，以提高检测有效性）。 控制限如公式（A.3）和公式（A.4）所示：

当过程分布中心与公差中心一致，ARL.为500。当过程发生幅度超过8，=2的偏移时，要求能够 则2个～3个连续样本后发现偏移。表4给出ARLo=500且ARL在2～3之间的对应参数值： ARL,=2.50;0/n=2.5;L,=3.07;入=0.52

控制限如公式（A.3)和公式（A.4)所示

初始值和目标值均为μ。=100。 由先期研究得到，0。的初始值为0.1mL。 表A.1给出了控制过程中得到的样本观测值，并计算出样本均值t；、样本极差R，和EWMA统计量 的值

.1n2时常规控制图和EWMA值的计算结果

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表A.1n=2时常规控制图和EWMA值的计算结果（续）

图A.1的第10个样本的z，超出上控制限，过程出现偏移，宜进行调整。调整过程后，重新绘制新的

图A.1的第10个样本的z，超出上控制限，过程出现偏移，宜进行调整。调整过程后，重新绘制新的 控制图,2二=100 。

标引序号说明： Uc.=100.129; CL=100.000; Lc.=99.871

图A.1用于监控均值的EWMA控制图

对过程的样本极差R，绘制极差控制 4.2所示，并未发现过程的离散程度发生变化。前 见的偏移是均值的偏移，过程的离散程度没有增大 注1：极差控制图的中心线及控制限的计算方法见GB/T17989.2

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图A.2监控离散程度的极差控制图

n=2、U，=3.09时，对应的均值控制图的控制限为100.22和99.78，并未发现过程发生偏移。 子组大小至n4，才能发现剂量值的偏移（如图A.3所示），而质量控制的成本也随之扩大

图A.3n=2、n=4时的均值控制图

主2：本例说明，相比于常规控制图，EWMA控制图对均值的小幅偏移更为敏感。如果发生突然、大幅的偏移 规控制图能更及时迅速地予以发现

规控制图能更及时迅速地予以发现

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用于监控不合格品率的EWMA控制图

EWMA控制图可用于监控比例的变化。其用途与p图和np图相同，见GB/T17989.2。EWM 控制图监控小幅或中幅偏移更有效。

注：在伯努利实验中，p。为不合格品率，方差为p。（1一po）。 下面来构造EWMA控制图。其上下控制限（U和L）的计算见公式（B.3)和公式（B.4)：

只要之；落在控制限内，则过程处于受控状态。若某一；值超出控制限，则过程发生偏移。 对过程进行调整后，EWMA控制图需要重新绘制并重新初始化，即令o=Po。过程调整之前的观 测结果不宜被计算在内。 当子组大小相同（均为n）时，可直接使用每个子组的不合格品数，构造与上述控制图等价的

与计量数据的EWMA控制图相同，计数数据的EWMA控制图的有效性也使用ARL进行评估， 如GB/T17989.1所述，即需要一定数量的连续样本来检测偏移。若过程受控，则虚发警报较少，即发 出一个虚发警报的平均样本数较大（通常ARL在100和1000之间取值）。 另一方面，宜尽快监测到过程发生偏移，即在偏移发生和出现第一个超出控制限的点之间的连续样 本数应尽可能少（即ARL很小）。 与p图（见GB/T17989.2)相比，EWMA控制图更有效；与CUSUM控制图（见GB/T17989.4)相 比，效果相当。尤其小幅和中幅偏移的情况，EWMA控制图的有效性明显优于p图。而p图对于突发 的、大幅偏移更为有效。 给定ARL，使用表4，按照5.3给出的方法，确定L，和入值。但是该表只适用于np。>5的情况。

使用控制图监控一个焊接过程的不合格品率。根据先前研究，受控过程的平均不合格品率P。为 0.01945（1.945%）。子组大小n为常数1600。 满足np。>5的条件时，使用上述方法和表4。子组大小相同，绘制计数数据的EWMA控制图，其 ARL。=370.且希望当不合格品率达到0.028时能够迅速监测到过程偏移。公式（B.5)给出：

ARLo=370，由表4得到： 6Vn=2.5;>=0.54;L，=2.98;ARL=2.38 公式(B.7)和公式(B.8)可得到控制限

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o=ypo(1—p。）=0.1381

子组大小不变或变化很小时，以子组中不合格品数构造的EWMA控制图与上述控制图等效，其参 数如下： 2。=np。=31.12兰31个； 75。=220.96兰221个； UcL=41.12兰41个； LcL=21,12兰21个。 使用每个子组中的不合格品数来计算之；

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城镇建设标准（规范性） 用于监控不合格数的EWMA控制图

初始值z.为目标值co。标准差由公式（C.2)估计：

下面来构造EWMA控制图。其上下控制限(Uc和Lc)的计算见公式(C.3)和公式(C.4)

只要之，落在控制限内，则过程处于受控状态。若某一之，值超出控制限，则过程发生偏移。 当只有上控制限时，可以考虑单侧的EWMA控制图。此时，也能在EWMA控制图上添加下控制 限，以监测是否出现了质量提升。进而，分析造成这种提升的原因，使这样的质量提升得以保持。 对过程进行调整后，EWMA控制图宜重新绘制并重新初始化，即令。=co。过程调整之前的观测 结果不宜被计算在内。

与监测不合格数的c图相同，EWMA控制图也可用于检测不合格数。EWMA控制图的有效性使 用ARL进行评估。 若过程受控，则虚发警报较少，即发出一个虚发警报的平均样本数较大（通常ARL在100和1000 之间取值）。 同时，要尽快监测到过程发生偏移，即在偏移发生和出现第一个超出控制限的点之间的连续样本数 应尽可能少（即ARL很小）。 与c图相比，EWMA控制图更有效；与CUSUM控制图相比，效果相当。尤其小幅和中幅偏移的 青况，EWMA控制图的有效性明显优于c图。而c图对于突发的、大幅偏移更为有效。 给定ARL，使用表4，按照本文件给出的方法，确定L，和入值。但是该表只适用于c。>5的情况。 最大可接受的偏移8，见公式（C.5）：

类似地，监测单位不合格数的EWMA控制图只需用u，uo，u,替换c，c。，ci即可

下例中，c。=10镀铬标准，则s=/10=3.16。 满足co>5的条件，使用上述方法和表4，绘制不合格数的EWMA控制图。当c=c。时，ARL

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