图3黏度序列的残差以及3c控制限的单值X图

4.3调整控制限的控制图

4.3调整控制限的控制

水利软件、计算黏度序列残差的自相关函数及其近似95%置信

与残差图相比，更直接的方法是：不建立时序模型，而直接对控制图的控制限进行调整。基于此 得到了一些方法，然而他们仅适用于一些特定的过程，如AR(1)过程10]。参考文献[11]提出了平 程的监测EWMA的方法，即EWMAST控制图，适用于常规意义的平稳过程。基于下面的统计量

假设过程序列《X，;t=1,2，，N）是均值为μ方差为。的平稳序列。当t值很大时，Z，的方差 可近似为：

具中，M是整数，β（K）是间隔为k的过程目相关系数。注意，当过程不存在目相关性时，2与传 统EWMA控制图相同。假设X，服从正态分布，那么Z，也服从均值为μ的正态分布。Z.在图上打点， 得到EWMAST控制图，控制图的中心线位于的位置，且Lzo控制限由下式给出：

一般情况下，宜使用入=0.2t11]，Lz通常取2或3。当μ、6和自相关系数未知时，通常用过程处于 统计控制状态的历史数据（X，)的算术平均值元、样本标准差s和样本自相关系数β（k）来进行估计。 在用历史数据估计自相关系数时，可以使用一些经验法则。参考文献[12（第32页)表明，只有当数据 量N≥50且k≤N/4时，才能得到有效的β（k）估值。因此，公式（2)中的M宜足够大，使得公式（2)给 出的近似值可使用；同时M要小于N/4，以避免自相关系数的估值有较天的误差。模拟研究表明，当 N≥100时，M=25是推荐的取值[11]。 为了更直观地加以说明，以=0.5、方差。=1、链长为200的AR(1)过程的模拟数据为例。白噪 声（见A.3.2）服从正态分布。前100个观测值的过程均值为0。从第101个观测值，过程均值出现从 ～1（即1c）的阶跃变化。图5给出这些模拟数据的折线图

图5列举EWMAST图对AR(1）过程的实现

若将前100个数据构成的过程视为平稳的，据此对过程的均值、标准差和样本的自相关系数进行估 计，得到元=一0.10,S=0.91，以及（k）（k=1,2，**，25）。取M=25，入=0.2，由公式（2)得到，Z，标准 差的估值z=0.24。图6为中心线为元=一0.10、3c控制限由元±36z=（一0.81；0.60）给出的EW MAST控制图。该控制图发出警报：从第110个观测值开始，控制图监测到过程均值增大。

4.3.2调整的 CUSUM 控制图

图6用于图5均值增大的模拟数据的EWMAST控制图

参考文献3讨论了在过程自相天牧 USUM控制图直接处理原始数据的效果。在过程 自相关较强时，则考虑使用经过处理的观测数据。参考文献[10]和参考文献[14]还提出了将改进后的 CUSUM控制图应用于AR（1）过程或其他时间序 列过程的方法

4.4监测自相关数据的控制图比较

关于监测自相关数据的控制图之间的比较，已有文献进行了讨论。参考文献[10]和参考文献[5]通 过数据模拟，对比了平稳AR（1)过程的单值X控制图、X残差图、CUSUM残差图、EWMA残差图，以 及EWMAST控制图的效果。研究发现，EWMAST控制图的表现要优于CUSUM残差图和EWMA 残差图。总体来看，EWMAST控制图的表现同样优于单值X控制图和X残差图。模拟结果还表明， CUSUM残差图和EWMA残差图的效果相差无几。当过程自相关不强时，CUSUM残差图和EWMA 差图的效果优于X残差图。与之相反，当过程自相 关较强时，X残差图的效果则要优于其他残差图 当过程自相关很强时，此时过程已近乎不平稳，EWMAST控制图的表现相对来说仍优于其他控制图。 应用EWMAST控制图的一个明显的优势，就是不需要为平稳过程数据构建时间序列模型。EW MAST控制图的使用，仅需要对过程处于受控状态的过程均值、标准差和自相关系数进行估计。总之 当过程存在自相关且平稳时，宜使用 控制图来监测过程均值

参考文献15」讨论了两种可用于监测过程散度的控制图：一种是基于目标的指数加权均方差构建 的，称为指数加权均方差（EWMS)控制图。另一种则是基于指数加权移动方差构建的，称为指数加权 移动方差（EWMV)控制图，其过程均值由观测值的EWMA控制图估计得到。 假设《X，，t=1，2...)是过程均值为μ、方差为。且服从联合正态分布的过程序列。指数加权移动 均方差的定义为：

其中t=1，2，；r为EWMS控制图的平滑参数（0

图7EWMS控制图对AR（1)过程的实现（过程均值固定为0.过程方差出现两次变化）

图8用于图7时间序列的EWMAST图及控制限

6监测自相关过程的其他方法

第4章和第5章讨论了监测过程数据存在自相关情况的控制图。除了适应自相关以外，也能通过 些数据处理的技巧来消除自相关的影响。参考文献18讨论了选择采样间隔对过程数据的影响。当 过程是平稳的且不那么频繁地被采样时，样本数据的自相关会减弱。因此，当采样间隔足够大时，数据 此不相关。然而，这种方法丢弃了采样间隔中间的数据，而错过过程中重要事件的可能性被加大。除 了选择较大的采样间隔，还可以构建窗口大小固定的过程移动平均。参考文献[19］显示，当过程是平稳 的且满足一些常规条件时，不重叠的均值或批次均值近似彼此独立且服从正态分布。因此，当批次大小

足够大时，批次均值可被看作白噪音。对某些特定的平稳过程，许多参考文献都讨论了子样本均值或批 次均值以及批次均值的相应控制图的表现。参考文献[20]讨论了使用广义的平稳过程移动平均消除自 相关的效果，以及在过程控制图中的应用

随机过程《X，；tET】由一系列随机变量构成，其中T是指标集[9。若T代表时间，则称该随机 过程为时间序列。当T一系列离散值，如T三（0，土1，土2，·}时，该过程被称为离散时间序列。在 本文件中，只讨论时间间隔相等的离散时间序列。离散时间序列1，2，，可看作是一系列随机变 量X，X，",X，的取值。序列a1，2，"，，又称为X，X2，,X，的一个实现

A.2时间序列的自协方差和自相关系数

如果一个时间序列处于“统计平衡”状态，则称该时间序列是平稳的。换言之，该时间序列的基本表 现并不随时间而变化。在本文件中，若时间序列《X，；tET>满足下列条件，则称其是协方差平稳的或 平稳的： a）E[X,］=μ（即对所有t值均为常数)； b）V[X,]=α

显然p（0)=1。由此引出一些简单的平稳时间序列模型，见A.3.2和A.3.3。

若某一时间序列满足下列条件，则称其为白噪声： a）X，同分布，其均值相同，方差相同且有限； b）对任意t1≠t2，自协方差(t1，t2）=0。 由条件2)可知，对任何间隔数不为0的情况，白噪声的自相关系数恒为0。若《X，)是服从正态分 布的白噪声，则是一个独立同分布序列。

A.3.3一阶自回归[AR(1)过程

X：tE（0，±1.±2..））被称为一阶自回叭

.4平稳时间序列的均值、自协方差和自相关系

过间序列的均值、自协方差和自相关系数的估计

对于一次实现（：;t=1,2，"，N)），过程均值μ通常由算术平均或样本均值元= N一进 计。

A.4.2(）和p(）的估计

平稳时间序列在间隔数为时的自协方差的估值为：（t） N O， 土1，，土（N一1）。若|>N，则自协方差的估值为OL9。特别是，当T三0时，（O)是过程方差的估 值。实际工作中，通常用传统的样本方差S［估算公式的分母不是N，而是（N一1)来替代（0）。相 应的自相关系数的估值，又称为样本自相关系数，通常用（t）：

A.5时间序列数据的自相关性检验

对过程数据的自相关性进行检验是非常重要的。下面是两种常用的样本检验方法。 a） 利用带有置信带的样本自相关函数（ACF）图： 在N较大时，有限方差的独立同分布序列X1，X2，""，X，的样本自相关系数《（t）)，可以近 似看作一个服从N（0，1/N）分布的独立同分布序列21)。若1，2，，是此序列一次实 现，则在间隔数大于1的样本自相关系数中，大约有95%落在土1.96//N的范围内。这可用 于检验过程数据是否存在自相关性22]。5.2介绍了一个真实的示例，展示了带有置信带的样 本自相关函数ACF在过程数据自相关性检验中的应用。 b） 游程检验： 样本自相关函数ACF的使用，是基于平稳过程的假设，过程均值是一个常数。然而，如果过程 的均值不是常数，自相关函数ACF图则可能错误地探测出强自相关性。在这种情况下，若仍 使用自相关函数ACF来检验过程是否具有自相关性，就可能会得到错误的结果。而游程检验 能对自相关函数ACF图进行补充。对随机性的游程检验是一种基于上下游程的非参数检 验[22]。参考文献[221的第99～101页给出了一个使用游程检验的例子

过程数据中的自相关性会影响传统控制图进行统计过程控制的表现。下面的例子展示了正自相关 性对多种传统控制图的影响。模拟0<Φ<1、正态分布随机噪音的平稳一阶自回归AR(1)过程，生成 自回归数据。所生成的均值为0、白噪音方差为1、链长为100、Φ分别为0、0.25、0.5、0.75、0.9的AR（1） 过程的五次实现，分别在图B.1到图B.5中进行了展示，以给出自相关过程的影响。 本附录用于展示在监测过程均值变化中，不同程度的自相关性对受控状态的平均链长（ARL)所代 表的第一类错误以及对失控状态的平均链长所代表的第二类错误的影响。ARL是在出现一个信号之 前采集的平均样本数（见GB/T17989.4：2020中的3.1.7）。理想的控制图期望受控状态的ARL尽可能 大，失控状态的ARL尽可能小。也就是说，对理想的控制图而言，若过程均值未发生变化，ARL宜取较 大值；若过程均值发生变化，ARL宜取较小值，以快速提示过程均值出现了变动。在模拟中，自相关程 度的变化通过改变AR（1)过程中的Φ值实现。对于Φ的每个取值，分别计算过程处于受控状态和失控 伏态下的ARL值 模 少生成2000不时日 不稳定的过程，均值在序列的模拟过程中会发生变化，然后据此计算链长。此时，只考虑过程均值的阶 失变化么，以过程标准差倍数表示，即均值突然发生变化，然后稳定在一个新的水平上。计算2000个 予列链长的平均值，以得到失控状态的平均链长。自相关性对单值X图、CUSUM图和EWMA图的 影响亦得到了研究。单值X图使用3c控制限。EWMA图的平滑参数入取0.2，同样使用3c控制限 CUSUM图使用参考文献[23]和参考文献[3]里提到的ARL。表格化CUSUM图中的参数取h=5.0 AR（1）过程实现的图示

环保标准图B.1=0时AR(1)过程的实现

图B.2Φ=0.25时AR(1)过程的实现

图B.3Φ=0.5时AR(1)过程的实现

图B.4Φ=0.75时AR(1)过程的实现

图B.5Φ=0.9时AR(1)过程的实现

阻燃标准表B1研究结果（续）

研究结果如表B.1所示。表中第一列是自相关的程度，从没有自相关Φ三0到更0.9。第二列针对 每个值，给出了均值变化的程度，以过程标准差倍数表示（0、0.5、1.0、2.0、3.0个标准差）。第三列给出 了单值X图的表现。自相关的存在不会对受控状态的ARL产生负面影响；当Φ≤0.25时，自相关对失 控状态的ARL影响较小；然而当Φ≥0.5时，自相关对ARL影响较大；当Φ增大时，受控状态与失控状 态的ARL都会增大；当均值变化较小时，这种影响更显著。总之，对于中等强度到高等强度的自相关， 单值X图很难监测到均值的小幅变化。 表中第四列和第五列分别给出了CUSUM图和EWMA图的表现。当过程数据呈正自相关时，即 使只有0.25这样弱的自相关，也会对受控状态的ARL产生负面影响；当$=0.25时，CUSUM图和 EWMA图的受控状态ARL分别从Φ=0时的465.00和547.71减少到119.35和139.50，表明即使只出 现微弱的自相关，CUSUM图和EWMA图仍会频紧发出错误警报；另一方面，自相关性对CUSUM图 和EWMA图的失控状态ARL的影响相对较小。因此，当过程出现正自相关时，会严重影响CUSUM 图和EWMA图的受控状态ARL，发出错误警报 这里仅给出了正自相关序列的结果。因为实际工作中，正自相关性是最常见的情形，如生物学。对 于负自相关性影响的研究，见参考文献[51。同样，只考虑均值出现的阶跃变化