7.2指数的设定和符号表示

目前在工业和科学领域有不同的符号用于多元过程能力指数的定义。目前所使用的符号试图将不 同的计算类型区分开来或仅限某些计算类型特定使用。本部分使用C，和/或C作为多元过程能力指 数的基本定义。此外，在应用指数时，通过用大写字母“C”表示“能力（capability)”，用大写字母“P”表示 “性能（performance)”，从而将过程能力指数和过程性能指数区分开来。

7.2.2Ia型过程能力指数

考虑一个均值向量为μ、协方差矩阵为的d元正态分布N。（μ，）。如果容差区域不呈椭 d=2,则椭圆状指圆或椭圆；若d=3，则是指球体或椭球；若d>3建材标准，则指超球体或超椭球），则将

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过变换将其修正为一个呈椭圆形状的容差区域。修正后的容差区域为包含于原容差区域内的最大椭圆 （椭球或超椭球），且其中心与目标值重合。 为了计算多变量C，指数，设定正态分布的均值为椭圆容差区域的中心。在该正态分布下，确定完 全包含在椭圆容差区域内的最大等高椭圆，基于均值为椭圆容差区域中心、协方差矩阵为的d元正 态分布计算落入最大等高椭球内的概率，记为P，则多元过程能力指数为

在图2中，概率为99.73%的等高椭圆完全包含在用于计算过程能力指数的等高椭圆中。在这利 下，过程能力指数将大于1。

图2用于计算d=2情形下过程能力指数等高圆和容差区域

乃沿用一元正态分布下经典的能力指数的符号C，表示多元过程能力指数。这样做是因为这 程能力指数的方法在一元情形算出的就是经典的C，指数。A.1给出了相关解释，

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7.2.3Ia型最小过程能力指数

C指数的计算涉及分布的均值和方差，因此要考虑均值为μ、协方差矩阵为的d元正态分布。 对于N（μ，Z）分布，先做如下计算（见图3）： 如果过程均值μ包含在容差区域内，则找到完全包含在椭圆容差区域内的最大等高椭圆（椭 球或超椭球）； 如果过程均值μ不包含在容差区域内，则找到不包含在容差区域内的最大等高椭圆（椭球或 超椭球）。 然后在过程服从N。（μ，Z)的多元正态分布情形下，计算过程值落人等高椭圆（椭球)内的概率P 最后，计算C际指数： 如果过程均值u在容差区域内，则

如果过程均值μ不在容差区域内，则

此处使用与一元正态分布的经典C指数相同的符号。同样，这是因为这种计算方法在一元情形 下给出的即为经典指数。A.1给出了相关解释。 图3给出了一个计算C的图示，其中概率为99.73%的等高椭圆完全包含在用于计算最小过程能 力指数的等高椭圆中。 注：本部分所描述的Ia型指数可应用于几何尺寸和位置偏差的容差。这里，容差区域通常描述了一个圆形容差 带。在这种情形下经常使用符号Cp和Cpek来分别代替C，和C。

7.3Ic 型和 Ic型过程能力指数

用于计算d=2情形下过程能力指数的容差区域

Ic型及Ⅱc型过程能力指数的特点是，可通过一个与功能相关的变换函数将过程的多元特征转 单一特征。在这种类型下，原始特征向量x间的相关性可以通过变换函数q(x)得到合理的解释。

种变换可以最大程度地提取x中单 变量的原始信息并合理地解释原始变量间的相关性。例如，变换 函数可用以描述容差区域模型，并且可以被解释为权重函数，如一种质量损失函数或衡量技术功能性的 量化函数。 Ic型和IIc型指数的计算遵循四个步骤，见图4

图4计算Ic型或Ic型过程能力指数的步验

第一步涉及d维容差域的变换函数q(x)的定义。该函数在容差区域内的目标值点取到最大值记 为qmx。在容差区域的边界，q（x）的值为qbound。在某些情形下，qmax和qbound可以根据组成x的所有单 变量的技术内涵导出。在其他情形下，对qmax和qbound合理的赋值为：qmx=1和qbound=0.5。函数q（x） 可以用显式方程或者分段线性函数表示。图5给出了分段线性函数的示例

图5MMC下宽度/对称容差区域的变换函数示

在图5中，多变量由两个几何特征组成：宽度和位置。最天实体状态（MMC）下的容差区域皇复 形和三角形。第8章中给出了相关示例的进一步说明。目标设在qmx=1时对应的名义值。从该 容差区域边界延伸，变换函数的值逐渐递减。因此，可以定义不同的函数趋势：线性、指数或其他。

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C pk = q50% q50% — q0.135%

且型多元过程能力指数遵循的原则为：建立容差区域即规格区域范围和过程变差区域范围间的 这些范围以面积或体积的形式表示。Vtol表示容差区域的面积或体积，Vproe表示过程变差区域的 或体积。因此，对于此类过程能力指数，可以定义如下

引入指数α是为了一元情形下面积或体积的概念仍适用。因此，α通常取1/d。否则，α取1。 为了使面积或体积具有可比性，有时需要改变区域（容差区域或过程变差区域)的形状。Ⅱa型指 将原始容差区域变换为一个与过程变差区域形状相似的容差区域（例如，在多元正态分布的情形下为 荫圆/椭球/超椭球）。对于Ⅱb型指数来说，则是将过程变差区域进行变换。在这种情形下，要调整过 程变差区域的形状以适合容差区域的形状。参考文献[10]中比较了Ⅱa型和Ⅱb型指数。 此类过程能力指数仅考虑与容差相关的过程离散性方面的信息，因此该指数应同时与一个或多个 包含由均值向量u表征的位置和目标值之间关系信息的指数配合使用

修正的容差区域仍是以目标值为中心且完全包含在原始容 内的最大 球或超确 t表示椭球半轴的长度，则体积V由下式给出

两者综合得到Cpm，其值可由下式估计：

参考文献「8中描述了此类PCI的示例。

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Vtol 1x r(1+号)

(元·X0.997 3)4/ r(1+%) .S

ⅡIb型PCI的定义参见参考文献[9]。过程变差区域的形状由椭圆形变换为容差区域的形状。在 差区域形状为矩形（长方体/超长方体）的情形下，修正的过程变差区域形状应是包含给定椭圆（椭球） 椭球）的最小矩形（长方体/超长方体）。基于每一个维度下L和U的椭圆（椭球/超椭球）投影区间 更可定义PCI 参考文献[97中描述了此类PCI的示例

8.1.1Ia型过程能力指数

在生产的零件上，对所钻孔的中心进行测量 方向的标称值为80mm，Y方向的标 称值为一116.5mm。孔的直径为50mm，容差为士0.05mm。关于几何容差的信息在GB/T1182中 给出。 现得到100套生产零件的位置测量值（见表1）。 测量的零件数：n=100

y=116.750mm

根据表1中的数值，构建了两套控制图，见图7。 在图8中给出了（X，Y)观测值的散点图，并计算出了离差区间。用于计算区间的方法参见附录A。

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表1测量值和计算出的中心偏差

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以椭圆区域（3)为参照的位置容差和规范区域的图

图7中的X坐标和Y坐标的控制图均表明过程是失控的。因此，只能计算过程性能。 结果： 过程性能指数：P，=2.43 最小性能指数：Pk=1.48 P。的95%置信区间的上下限为：Pp.low=1.99，Pp.up=2.88。 对于Pk： P pk.low = 1.19, P k.sp = 1.48 。

.1.2通过使用与目标的距离计算Ic型能力指

将图6中的孔的中心指定为目标位置（α。，y。）=（80，一116.5）。测量了实际每个孔中心的位置坐 标（，y），它与目标位置的距离偏差为：

在表1中可找到距离D的实际计算值。 所有偏差值都绘制在图9所示的直方图中。最大允许偏差为0.25mm，因为容差带是以目标值为 中心的、直径为0.5mm的圆形区域，所以此处最大允许偏差即为该圆的半径。

在表1中可找到距离D的实际计算值。 所有偏差值都绘制在图9所示的直方图中。最大允许偏差为0.25mm，因为容差带是以目标值为 中心的、直径为0.5mm的圆形区域，所以此处最大允许偏差即为该圆的半径。

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如果产品是以目标值为中心生产出的，则实际数据集的分布将会呈瑞利分布。然而，在这种所有双 直都位于目标值之上的特殊情形下，正态分布拟合良好。 控制图中数据没有显示出稳定性（见图10）。在这种情形下，只能计算P指数。 过程能力指数的计算： 由于不存在下规范限，所以无法计算过程能力指数。 最小过程能力指数：

8.2插槽的位置和尺寸

如图5所示，要在一个零件上开个插槽，其技术功能是将第二个零件放在特定位置。凹槽的宽度

要在一个零件上开个插槽，其技术功能是将第二个零件放在特定位置。凹槽的宽度为

GB/T 40681.6—202120mm士0.2mm。为了确保零件正确安装，当插槽尺寸处于其最大实体尺寸（19.8mm)时，插槽相对于“A”的位置容差为0.1mm。该最大实体状态由符号?表示。实际上，如果算上插槽的实际宽度与最大实体尺寸之间的差，插槽位置的偏差值不超过0.1mm，则零件仍是可以接受的。图5中的矩形给出了在不应用最大材料条件的情况下的容差区域。矩形右侧扩展出的直角三角形给出了由于MMC而引起的扩展容差。第一步，定义多变量x的函数g(x），其中x；表示宽度，x?表示位置。所选函数由三个线性函数qi组成，函数形式为：q:=a1ix十a2ix2十aoi，其中i=1,2,3。设置适当的系数值以满足q(x)在目标值处取得最大值qmx=1，在容差区域边界处取得qbounl=0.5。附录D给出了确定q（x）函数的方法。第二步，获取过程数据x。为便于演示，以铣削加工过程为例，从中获取50对观测值。宽度和位置的测量值汇总在表2中。对于每个点，计算变换函数q(1，r2)的对应值。在图5中给出数据的散点图且在图11中给出单个量的控制图。表2测量值和计算的q值宽度位置宽度位置宽度位置序号q序号q序号mmmmmmmmqmmmm10.74420.1020.06180.82820.0690.09350.86220.0330.11620.84520.0620.11190.89920.040.091360.87920.0270.10.85820.0160.102200.80720.0070.123370.67120.1310.07440.84620.0350.127210.83820.0650.083380.86520.0260.10750.82920.0680.075220.78120.0870.071390.89720.0350.0970.90620.0380.091230.86620.0530.09400.77720.0010.13570.76320.0020.144240.88820.0450.096410.77120.0090.14680.78920.0840.074250.89720.0410.102420.82320.0260.1320.79820.0010.122260.76820.0930.084430.8420.0120.108100.79720.0810.069270.82420.070.084440.83220.010.111110.84120.0630.09280.8520.060.116450.87520.050.112120.87420.050.085290.82520.070.091460.88420.0310.101130.73120.1080.068300.84320.0630.097470.89420.0420.091140.79220.0830.076310.84320.0630.114480.85220.0180.106150.76320.0950.081320.81820.0730.07490.83220.0250.126160.88820.0450.081330.920.0360.096500.85420.0580.091170.81520.0080.119340.75519.9920.139从图5可以看出，宽度和位置偏差是相关的。较高的宽度值对应着较低的位置偏差值。图11中的b)和c)表明该过程的起初阶段宽度值高且位置值符合规范限。由于刀具磨损或其他系统的影响，宽度在减小，位置偏差增大。位置偏差超过了0.1mm的上规范限，此时由于最大实体状态而仍落在容差区域。图11中的a)显示了q值的走向。随着过程向量朝着目标值的方向移动，这些数值呈现出小幅度上升趋势，在接近容差限时，这些数值又呈现出下降趋势。14

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第三步，确定9值的分布。虽然因为趋势原因而使得宽度和位置偏差的分布呈非正态分布，但仍口 为q值找到合适的分布。图12给出了用于拟合q值的皮尔逊（Pearson)型分布的密度函数。

图12确定值分布的直方图和分布密度函数

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基于该密度曲线以及容差限处Qbound=0.5，II型PCI的估计如下： Ic型过程能力指数：

0.8375—0.5 0.837 50.641 4 =1.72 9.50% 90.135%

Ppk= 5.73 =1.91

此外，在适用宽度互易性要求的情形下（通过在图中宽度的后面加上?），可简化q：的表达式。通 过对宽度的额外监控，可使用表达式q=1一19.7一2作为变换函数的定义。在这种情形下，qboumd=0 适用，对合格产品有Q>0。

计算过程能力指数中多元正态分布有用的性质

均值为u、协方差矩阵为的d元正态分布的概率密度函数为

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当d=1时，该轮廓为区间的端点；当d=2时，该轮廓为椭圆；当d≥3时，该轮廊为椭球。 过程值落在椭圆轮廓区域内的概率可以根据自由度为d的X分布来计算。如果X服从均值为 L、协方差矩阵为Z的d元正态分布，那么

其中Fz2(d)表示目由度为d的义"分布的分布函数。 由此得出，X落人以轮廊椭球

为边界的区域的概率为p。此处F2a)（p）是自由度为d的X分布的p分位数，有时也记 为X（d）。 如果X，，X，是来自均值为μ、协方差矩阵为的d元正态分布的样本，则μ和的估计为

其中“”读作“由…估计”

A.2定义多元过程能力的出发点

首先考虑一维情形下的C。指数。 容素区日为工 程分布的中心与容差中心重合。那么过程值落入容差区间（规格区间)内的概率为： L+U L+U L+U

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其中P是过程分布服从均值为容差中心、方差为。的正态分布时，过程值位于容差区间内的 概率。 接下来考虑一维情形下的C、Cpku和Ck指数。考虑均值为u、方差为α的正态分布，且假定 大于(U十L)/2但小于U，即过程均值μ在容差区间内，但是μ更接近容差区间上限而非下限。那么 这种情形下以过程均值为中心且完全包含于容差区间的最大区间为[2μ一UU]，则过程值位于该区间 内的概率为，

2Φ —1=2Q(3Cpk）—1

当μ大于（U+L)/2时，则Cpku小于Ckl且 C =min(Cpku,Cpkl ) =Cpk 如果μ介于L和(U十L)/2之间，则类似的计算给出

在这两种情形下，C的公式为

在这种情形下，Cpku小于Cpkl且 Cpk=min(Cpku,Cpkl.)=Cpk 因此该公式适用于C，即

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把该定义推厂到多元止态分布过程的能力指数，其想法是原定义中的区间在二元止态分布情形下 d=2时）用椭圆代替，而在多元正态分布情形下（d≥3时）用椭球代替。 考虑协方差矩阵为的d元正态分布。为了计算多元C。指数，应将该正态分布的均值设定在容 差区域的中心。在此假设条件下要确定完全包含在容差区域内的最大轮廊椭球，并确定在协方差矩阵 为均值位于容差区域中心的d元正态分布下，过程值位于该最大轮廓椭球内的概率。由P表示此概 率。那么，多元C，指数为

为了从&维数据中估计Cp指数，首先要由该数据来估计多元正态分布的协方差矩阵。用≥表示 估计值并使用该协方差矩阵来确定轮廊椭球及相应概率P。最后，多元C，指数的估计为

C指数的计算涉及分布的均值和方差，因此考虑均值为μ、协方差矩阵为的d元正态分布。对 于N。（μ建筑施工组织设计，Z)分布，如果过程均值μ含在容差区域内，那么最大的轮廓椭球完全含于容差区域内；如果 过程均值μ不包含在容差区域内，那么最大的轮廓椭球不包含在容差区域内。现在，在N。（μ，Z)分布 下，计算过程值位于该最大轮廊椭球内的概率P。最后，C指数计算如下： 如果过程均值μ包含在容差区域内，则

为从d维数据来估计C指数，首先要由该数据中估计多元正态分布的均值和协方差矩阵，分另 和≥。现在，C指数的估计仍按上述原则计算，但要基于N。（i，≥)分布。故有如下公式 如果在容差区域内，则为

果在容差区域内，则为

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附录B （资料性附录） 轴不平衡示例

测量尺寸不平衡描述了以转子的形状轴为基础，转子的（实际）质量分布与理想质量分布之间的偏 差。不平衡的轴向分布通过与两个不同平面相关的不平衡指数来评估。目前转子方案的选择是随机 的。然而，对于过程能力的测量来说，所有不平衡容差和残余不平衡值的指数都是从相同方案中显示出 来的，这一点非常重要。有关尺寸不平衡的更全面的定义和解释，见参考文献中的详细解释。因为已有 相关参考文献为基础，所以此处使用的技术术语不再给出定义， 要进行校准的不同转子数量非常多。原则上，本部分描述的统计方法与转子尺寸无关。但是，某些 转子尺寸、加速度以及制动过程非常耗时，在这种情况下，可以在转子恒速转动周期内进行重复测量。 测量尺寸不平衡的一个特征是它是二元的量。在此示例中，描述了过程能力的计算。校准过程的 目的在于，考虑到约定的能力指数，从而对容差域给出的残余不平衡作限制。残余不平衡的分布既包含 随机失效影响，也包含系统故障影响。这些观测到的二元尺寸偏差与容差域之间所存在的差异，在本部 分通过使用PCI而进行了阐释。 作为结果，完全明确地区分二元量或单变量形式下的正确计算或错误计算是不可能的。因此，（正 常情况下）二元量变量是更为优选的。而在所描述的两种例外情况下，单变量计算则最符合实际情况。 但是，参与过程评估的各方需事先就所述评估方法的合理使用达成一致。 以这种方式出现的指数是根据单变量尺寸过程能力的经验按比例进行缩放的。尽管过程能力指数 的设计基于相同的理念，但是对过程能力指数值对应的质量要求，比如1.67，在没有比较的情况下，可能 对于二元测量过程的要求比单变量测量过程的要求更高。 另一个对校准过程统计评估有影响的重要量是存在或不存在转子内角系统。例如电锚通常不具有 其自已的角度系统标记。相反，曲轴则有明确的、适合使用的角度系统。在第一种情况下，重复的不平 衡测量（假定每次测量的结果都没有错误）通常对该不平衡显示出相同的效果，尽管每次测量都是来自 另一个不同的角度。此外，在转子生产过程中给定的情况下，可能会导致前提条件（二元正态分布）不能 满足此处所描述的计算

施工管理标准规范范本B.2检查能力指数的示例

用控制图可以证明过程的稳定性， 不平衡测量在两个不同的测量水平进行。 不平衡的规范限是140gmm。 在机器上进行校准的曲轴样本量为n=40。 表B.1可获得残余不平衡值。它们的图示见图B.1和图B.2。

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